清華新聞網(wǎng)2月23日電 濾波問(wèn)題的核心是利用有噪聲的觀(guān)測(cè)器，對(duì)一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確和實(shí)時(shí)的估計(jì)。在復(fù)雜的工程環(huán)境中，利用濾波系統(tǒng)得到的實(shí)時(shí)追蹤和定位數(shù)據(jù)，將為后續(xù)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行更為精準(zhǔn)的操作和控制提供重要的支持。作為現(xiàn)代控制理論的重要分支，濾波問(wèn)題及其解法在國(guó)防工業(yè)、航空航天以及信號(hào)處理、圖像傳輸?shù)阮I(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。
在傳統(tǒng)的濾波問(wèn)題中，人們往往假設(shè)濾波系統(tǒng)中狀態(tài)噪聲與觀(guān)測(cè)噪聲相互獨(dú)立。而隨著科技水平的進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)狀態(tài)噪聲與觀(guān)測(cè)噪聲很可能具有相關(guān)性。因此，該研究聚焦此類(lèi)噪聲相關(guān)情形的濾波系統(tǒng)，設(shè)計(jì)和提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)低維問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確實(shí)時(shí)求解的濾波算法，填補(bǔ)了當(dāng)前自動(dòng)控制領(lǐng)域?qū)υ肼曄嚓P(guān)非線(xiàn)性濾波問(wèn)題實(shí)時(shí)算法的研究空白，并讓濾波問(wèn)題中系統(tǒng)狀態(tài)條件分布所滿(mǎn)足的DMZ方程的實(shí)時(shí)求解算法得到進(jìn)一步完善。
近期，清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系丘成棟教授合作利用厄米特-伽遼金（Hermite-Galerkin）譜方法直接求解濾波問(wèn)題系統(tǒng)狀態(tài)條件密度函數(shù)所滿(mǎn)足的隨機(jī)偏微分方程（DMZ方程），給出了一種新型的求解噪聲相關(guān)情形非線(xiàn)性濾波問(wèn)題的數(shù)值算法。在理論上，該研究給出了該算法收斂性的嚴(yán)格證明；在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)引入伊藤-射流（Ito-Jet）格式，該算法有力地提升了現(xiàn)有的譜方法在求解隨機(jī)偏微分方程中的求解效率和穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)噪聲相關(guān)非線(xiàn)性濾波問(wèn)題的準(zhǔn)確實(shí)時(shí)求解。
圖1.算法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)條件密度函數(shù)的擬合效果
在應(yīng)用場(chǎng)景中，相比傳統(tǒng)的粒子濾波算法，該研究提出的算法在對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)給出準(zhǔn)確估計(jì)的同時(shí)，能夠有效減少所需的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算量，從而大幅提升算法求解濾波問(wèn)題時(shí)的效率，讓濾波系統(tǒng)在新的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)到來(lái)時(shí)，更加快速地做出反應(yīng)，提升系統(tǒng)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的整體處理能力。在計(jì)算理論中，該研究中引入的伊藤-射流（Ito-Jet）格式顯著提升了傳統(tǒng)譜方法的穩(wěn)定性，也將再次啟發(fā)計(jì)算數(shù)學(xué)界在求解隨機(jī)微分方程時(shí)，關(guān)注伊藤（Ito）隨機(jī)積分的幾何結(jié)構(gòu)，從而提升離散格式對(duì)方程的數(shù)值逼近效果，得到更為準(zhǔn)確穩(wěn)定的數(shù)值解。
圖2.算法對(duì)二維非線(xiàn)性濾波系統(tǒng)的追蹤效果
在實(shí)現(xiàn)了對(duì)低維噪聲相關(guān)非線(xiàn)性濾波問(wèn)題的準(zhǔn)確實(shí)時(shí)求解后，該研究未來(lái)的一個(gè)重要發(fā)展方向是提高譜方法在高維問(wèn)題上的求解效率。研究團(tuán)隊(duì)也將在此基礎(chǔ)上通過(guò)結(jié)合人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，進(jìn)一步提升基于偏微分方程的數(shù)值算法在高維濾波問(wèn)題上的可行性，從而讓此類(lèi)算法更加適應(yīng)當(dāng)前工業(yè)界面對(duì)的維度更高、更復(fù)雜的濾波系統(tǒng)。
相關(guān)研究成果近期以“基于厄米特-伽遼金譜方法的噪聲相關(guān)非線(xiàn)性濾波算法”（Solving nonlinear filtering problems with correlated noise based on Hermite-Galerkinspectral method）為題，發(fā)表于國(guó)際自動(dòng)控制聯(lián)合會(huì)（International Federation of Automatic Control,IFAC）主辦期刊《自動(dòng)化》（Automatica）。
清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系2020級(jí)博士生孫澤鉅為論文第一作者，丘成棟為論文通訊作者。研究得到了清華大學(xué)教育基金會(huì)的支持。
論文鏈接：
https://doi.org/10.1016/j.automatica.2023.111176
供稿：數(shù)學(xué)系
題圖設(shè)計(jì)：李柳依
編輯：李華山
審核：郭玲
