清華新聞網(wǎng)5月28日電 非正截面曲率且體積有限的完備非緊流形的幾何與拓?fù)涫且粋€(gè)活躍的研究課題。上世紀(jì)七八十年代，帕特里克·埃伯萊因（Patrick Eberlein）、米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhael Gromov,1993年沃爾夫獎(jiǎng)得主）以及格雷戈里·馬古利斯（Gregory Margulis,1978年菲爾茲獎(jiǎng)、2005年沃爾夫獎(jiǎng)得主）等著名數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得了一系列重要研究成果。比如，由他們的工作可以得知，對(duì)于一個(gè)體積有限的完備非緊黎曼流形，如果曲率介于2個(gè)負(fù)常數(shù)之間，那么它只有有限個(gè)末端（end），并且每個(gè)末端的基本群都是多項(xiàng)式增長(zhǎng)群。
埃伯萊因研究了一類(lèi)更一般的流形，在一篇1980年發(fā)表于《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）的論文中，他證明了，若體積有限的完備非緊黎曼流形的曲率非正且有界，如果它的萬(wàn)有覆疊空間是可視流形（visibility manifold），那么它只有有限個(gè)末端。類(lèi)比于曲率為負(fù)的情形。近40年以來(lái)，數(shù)學(xué)家們猜測(cè)，埃伯萊因研究的此類(lèi)非緊流形末端的基本群也是多項(xiàng)式增長(zhǎng)群。這個(gè)猜想的本質(zhì)難點(diǎn)在于怎么控制拋物等距在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近行為。
5月27日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心/數(shù)學(xué)科學(xué)系教授吳云輝和首都師范大學(xué)交叉科學(xué)研究院博士后研究員季然合作的論文“非正曲率且有限體積的非緊流形的末端研究”（On ends of finite-volume noncompact manifolds of nonpositive curvature）在線(xiàn)發(fā)表于《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》（Inventiones Mathematicae）。在這篇論文中，吳云輝和合作者克服了一系列困難，解決了上述猜想。
吳云輝和合作者首先受到數(shù)學(xué)家安德斯·卡爾松（Anders Karlsson）和馬古利斯于1999年在遍歷論領(lǐng)域相關(guān)工作的啟發(fā)，從而證明了此類(lèi)流形末端的基本群是次指數(shù)增長(zhǎng)的；又借助CAT（0）幾何的工具成功地控制了拋物等距的漸近行為；最后，他們提出了無(wú)窮遠(yuǎn)處版本的Margulis引理，并利用它完全解決了這一公開(kāi)長(zhǎng)達(dá)近40年的猜想。該工作是近期非正曲率流形幾何與拓?fù)湔n題的一個(gè)突破性進(jìn)展。
論文鏈接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01266-0
供稿：數(shù)學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
