清華新聞網(wǎng)6月12日電 近日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授高鴻灝與合作者在切觸幾何與辛幾何領(lǐng)域取得新突破，團(tuán)隊(duì)在拉格朗日填充的分類(lèi)問(wèn)題上取得具有重要影響的原創(chuàng)性成果。
恰當(dāng)拉格朗日填充的分類(lèi)是低維辛幾何中的重要問(wèn)題之一。1996年，雅科夫·埃利亞什伯格（Yakov Eliashberg）與列昂尼德·波爾捷羅維奇（ Leonid Polterovich）曾給出了勒讓德平凡結(jié)的完備分類(lèi)，是此類(lèi)問(wèn)題的首個(gè)結(jié)果。此后，數(shù)學(xué)家們?cè)谔畛浞诸?lèi)問(wèn)題上取得了一些進(jìn)展，構(gòu)造了諸多拉格朗日填充的例子。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)固定的勒讓德鏈環(huán)所得到的拉格朗日填充的個(gè)數(shù)總是有限多個(gè)，于是猜測(cè)任意勒讓德鏈環(huán)所界定的拉格朗日填充的個(gè)數(shù)總是有限的。2022年，羅杰·卡薩爾斯和高鴻灝合作證否了這一猜想。他們結(jié)合了微局部層、叢代數(shù)、勒讓德環(huán)路等多種技術(shù)手段，證明了大量勒讓德鏈環(huán)都可以界定無(wú)窮多個(gè)拉格朗日填充，同時(shí)揭示了拉格朗日填充與叢代數(shù)種子之間存在潛在的聯(lián)系。這一成果以“無(wú)窮多個(gè)拉格朗日填充”（Infinitely many Lagrangian fillings）為題發(fā)表于《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）2022第一期。
而在最新進(jìn)展中，研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步證實(shí)了拉格朗日填充與叢代數(shù)種子之間潛在的對(duì)應(yīng)關(guān)系。固定一個(gè)勒讓德鏈環(huán)，如果其不變量組成的模空間具有叢代數(shù)結(jié)構(gòu)，根據(jù)辛場(chǎng)論的構(gòu)造，則該鏈環(huán)所界定的一個(gè)恰當(dāng)拉格朗日填充可以誘導(dǎo)一個(gè)叢代數(shù)種子。團(tuán)隊(duì)證明了以上對(duì)應(yīng)中滿(mǎn)射的部分，即每一個(gè)叢代數(shù)種子均由一個(gè)恰當(dāng)拉格朗日填充誘導(dǎo)所得。
實(shí)現(xiàn)這一結(jié)果的基本思路是將代數(shù)上的叢變異構(gòu)造對(duì)應(yīng)至幾何上的拉格朗日手術(shù)。其中，代數(shù)操作可以任意進(jìn)行，而不加限制地重復(fù)幾何操作則會(huì)產(chǎn)生浸入點(diǎn)，從而被迫停止。文章引入箭圖上的勢(shì)能函數(shù)，記錄幾何操作過(guò)程中產(chǎn)生的交點(diǎn)，從而在浸入點(diǎn)出現(xiàn)前，通過(guò)適當(dāng)?shù)臐h密爾頓同痕變換，避免浸入點(diǎn)的產(chǎn)生，由此可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)操作與幾何操作的對(duì)應(yīng)。這一結(jié)果完成了拉格朗日填充的完備分類(lèi)的關(guān)鍵一步，對(duì)于理解低維辛流形的幾何性質(zhì)有著重要的意義。
拉格朗日填充（圖左）與其對(duì)應(yīng)的叢代數(shù)種子（圖右）
相關(guān)研究成果以“每個(gè)叢代數(shù)種子對(duì)應(yīng)一個(gè)拉格朗日填充”（A Lagrangian filling for every cluster seed）為題發(fā)表于5月出版的《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》（Inventiones mathematicae）上。該論文由高鴻灝與美國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校教授羅杰·卡薩爾斯（Roger Casals）共同合作完成。
論文鏈接：
https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01268-y
供稿：數(shù)學(xué)科學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
