清華新聞網(wǎng)8月11日電 近日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心博士后焦駿鵬系統(tǒng)研究了具有卡拉比-丘纖維化結(jié)構(gòu)的代數(shù)簇的有界性問(wèn)題，證明了當(dāng)?shù)浞冻拥腎itaka體積（Iitaka volume）有界，且一般纖維屬于某個(gè)極化卡拉比-丘對(duì)的有界族時(shí)，這類(lèi)纖維化的全空間在典范相伴（crepant）雙有理等價(jià)意義下具有有界性。這一突破性成果不僅深化了對(duì)極化卡拉比-丘纖維化本質(zhì)特征的理解，同時(shí)為模空間有限型問(wèn)題提供了關(guān)鍵性證據(jù)，更有望為crepant雙有理等價(jià)分類(lèi)提供新的理論工具。
代數(shù)簇的有界性（boundedness）是代數(shù)幾何中的一個(gè)重要課題，主要研究在給定的幾何或代數(shù)條件下，某一類(lèi)代數(shù)簇是否可以被有限多個(gè)參數(shù)所控制。具體而言，給定一族滿(mǎn)足特定性質(zhì)的代數(shù)簇，如固定的維數(shù)、典范體積或具有某種奇點(diǎn)類(lèi)型等，有界性問(wèn)題探討是否存在一個(gè)統(tǒng)一的參數(shù)空間（如?？臻g或希爾伯特概形）來(lái)分類(lèi)這些簇，使得它們?cè)陔p有理等價(jià)或更精細(xì)的等價(jià)關(guān)系下僅對(duì)應(yīng)有限多個(gè)“基本模型”。
有界性問(wèn)題與雙有理幾何、?？臻g理論以及極小模型綱領(lǐng)密切相關(guān)。在典范極化代數(shù)簇（log canonically polarized varieties）的研究中，克里斯多夫·哈孔（Christopher Hacon）、詹姆斯·麥凱爾南（James McKernan）與許晨陽(yáng)合作證明，具有固定維數(shù)且典范體積有界的典范極化代數(shù)簇構(gòu)成有界族。這一成果為高維代數(shù)幾何中的KSBA?？臻g（Kollár-Shepherd-Barron and Alexeev moduli space）理論奠定了基礎(chǔ)。另一方面，在對(duì)法諾簇（Fano varieties）的研究中，著名的BAB猜想（Borisov-Alexeev-Borisov conjecture）斷言，具有epsilon對(duì)數(shù)典范奇點(diǎn)的法諾簇構(gòu)成有界族。這個(gè)困擾學(xué)界多年的難題最終由卡切爾·比爾卡爾（Caucher Birkar）教授在其獲得菲爾茲獎(jiǎng)的重要工作中徹底解決。他不僅證明了BAB猜想，還發(fā)展了一系列研究法諾簇有界性的新方法，為現(xiàn)代雙有理幾何帶來(lái)了革命性的工具。
焦駿鵬的研究聚焦于極化卡拉比-丘纖維化的有界性，這一工作處于上述兩個(gè)經(jīng)典研究方向的前沿交叉地帶。他探索了在纖維化結(jié)構(gòu)下，如何通過(guò)控制典范除子的數(shù)值性質(zhì)和纖維的幾何行為，來(lái)建立整體空間的有界性。這類(lèi)結(jié)果不僅深化了對(duì)高維代數(shù)簇結(jié)構(gòu)的理解，也為模空間的有限性問(wèn)題和雙有理分類(lèi)提供了新的理論框架，特別對(duì)研究具有纖維化結(jié)構(gòu)的代數(shù)簇具有獨(dú)特價(jià)值。
相關(guān)研究成果以“極化卡拉比-丘纖維化的有界性”（Boundedness of polarized log Calabi-Yau fibrations）為題，近日發(fā)表于《微分幾何雜志》（Journal of Differential Geometry, JDG）。
丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心博士后焦駿鵬為論文的通訊作者和第一作者。
論文鏈接：
https://projecteuclid.org/journals/journal-of-differential-geometry/volume-130/issue-3/Boundedness-of-polarized-log-CalabiYau-fibrations/10.4310/jdg/1749495319.full
供稿：數(shù)學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
